摘 要：低渗透油气藏压裂水平井以形成多裂缝来提高产量，但由于裂缝内流动压力损失和裂缝段间干扰，导致气体沿裂缝面非均匀流入。为了准确预测气藏压裂水平井的产量，基于瞬时点(线)汇函数和叠加原理，考虑气藏压裂水平井裂缝干扰、裂缝面产量非均匀流入以及裂缝内变质量流动，采用空间和时间离散技术，建立了气藏压裂水平井储层渗流和裂缝内流动耦合的产量预测模型。应用结果表明：考虑裂缝无限导流会导致计算结果高于实际产量；而裂缝上均匀流入的假设使得计算结果低于实际产量；由于裂缝干扰，水平井筒两端裂缝的产量高于中间裂缝；由于裂缝上的非均匀产量流入以及裂缝内的摩阻损失，裂缝上产量在水平井筒附近出现局部峰值；随着时间增加，峰值降低并且产量从裂缝中间位置向两端转移；裂缝上产量分布受生产时间和裂缝导流能力的影响，生产时间越长，导流能力越大，裂缝上产量分布越均匀。将所建产量预测模型计算结果与实例井和传统模型计算结果进行了对比，其吻合程度高、可靠性强。
关键词：致密气藏 压裂水平井 点(线)汇函数 叠加原理 非均匀流入 非稳态产量 计算
Yield calculation of a fractured horizontal well with a non-uniform gas flow on fracture surface
Abstract：The productivity would be enhanced dramatically through fracturing horizontal wells in low permeability reservoirs．Due to gas flow pressure loss and inter-fracture interference，there exists a non uniform gas rate along fracture faces．In order to predict the flow capacity accurately，this paper applied the instantaneous point sink(congruence)function and the superposition principle，taking into account fracture interference，non uniform gas flow rate，and fracture inner variable mass flow to set a flow rate prediction model，which also considering the coupling effect of reservoir seepage flow and fracture inner flow．Conclusions were made as follows．First，if fractures are treated as infinite conductivity，the calculated productivity will be higher than that of the actHal vield．while if a uniform rate on fracture faces is assumed，the calculated result will be rather lower．Second，due to the fraeture interference，the flow rates from the fractures at two ends are higher than those from the middle fractures；and due to a non uniform flow on fracture faces and fracture inner friction loss，a flow rate peak appears in the fractures close to the wellbore．However．the peak decreases with time and the flow rate transfers from the middle to the ends．And finally，the flow rate distribution of fractures is affected by producing time and fracture conductivity，in particular，the flow rate distribution is becoming uniform with the increment of the producing time and fracture conductivity．Compared with the conventional models，calculation results achieved by this proposed model are in a better agreement with the measured data from an actual well．
Keywords：tight gas reservoir，fractured horizontal wells，point sink(congruence)function，principle of superposition．Non-uniform flow，unstable production calculation
准确预测致密气藏压裂水平井产量及分布对于压裂水平井优化设计具有重要意义。有关压裂水平井产能模型大致可分为两类：一类是采用商用数值模拟软件，对水平井压裂形成多条裂缝的产量影响因素进行分析[1-3]；另一类是根据源汇的思想，将压裂水平井裂缝处理成点(线)汇，即首先利用叠加原理或积分变换，建立起多个点(线)汇同时生产时在裂缝尖端的压力降落响应[4-13]，然后将裂缝上的流动等效处理成微型平面径向流[4，7-13]或者平板流动模型[14]，利用点(线)汇在裂缝面上参与地层和裂缝流动时的压力相等建立起连续性方程进行求解。本文参考文献[4-13]考虑沿裂缝面均匀产量的假设使数学上处理更方便，但是压裂水平井在生产过程中裂缝井段存在干扰以及裂缝内流动时的摩阻压降，使得上述假设与实际情况存在较大差异。为了解决上述问题，笔者采用空间和时间离散技术，基于瞬时源函数和叠加原理，考虑裂缝面上非均匀产量流入以及裂缝内流动变化情况，建立了气藏压裂水平井非稳态产量模型，并将计算结果与实例井以及传统模型计算结果进行了对比，吻合程度高，验证了模型的可靠性。
1 气藏渗流模型
假设无限大上顶下底封闭气藏中的1口压裂水平井被垂直裂缝分成若干段，气体只通过裂缝流入水平井筒。水平井半径为rw，长度为L，井在油气藏中心位置坐标为(x0，y1，z0)～(x0，y2，z0)，与y轴平行。气藏均质各向同性，厚度为h、孔隙度为j、渗透率(K)为常数；第k条裂缝的单翼裂缝半长为xfk、裂缝宽度为wfk，考虑水平井筒为无限导流，气藏初始压力为常数pi。由于裂缝完全贯穿气层，可将压裂水平井的裂缝简化成一线汇[15]；将第k条裂缝单翼均分成ns个线汇单元(每段长为Dxfk＝xfk／ns)。每一个线汇单元的生产可处理为l口直井进行考虑。定井底流压生产时，产量是不断发生变化，将时间段取很小，可以近似认为在该段时间内产量为定值。无限大地层中一口直井以定产量生产时的不稳定渗流方程为[16]：
式中r为径向距离，m；p为地层压力，MPa；h为导压系数，m2·MPa/(mPa·s)；h＝K/(mcj)；m为流体黏度，mPa·s；c为地层综合压缩系数，MPa-1；t为生产时间，ks；pi为原始地层压力，MPa；q为井产量，m3／ks；h为储层厚度，m；K为岩石渗透率，D；j为孔隙度。
平面直角坐标系下，设在裂缝k上有一线汇M(x2fk,i，ykf)(产量为qfk,i)，在裂缝k+1上有一观察点位于O(xfk+,j，yfk+1)，线汇qfk,i连续生产时间t后在O点产生的压力降落为：
当裂缝k上存在ns个线汇单元时，可以得到第k条裂缝上ns个线汇单元同时生产时间t后在O点的产生压力降落；类似的，也能得到N条裂缝上2N×ns个线汇同时生产时在O点的压力降落为：
式(3)就是任意时刻所有裂缝线汇单元同时在O点产生压力降落进行叠加后得到的储层渗流方程，该方程考虑了压裂水平井多条裂缝以及各裂缝线汇单元间的干扰作用。
当储层流体为气时，根据压力函数的定义和真实气体状态方程，并将地下产量转换成地面标准情况下的气体产量[4，10]，式(3)可写为：
式中pfk+1,i为裂缝k+1上线汇单元j的裂缝壁处压力，MPa；N为压裂裂缝总条数；ns为裂缝单翼线汇单元数目；qfk+i为裂缝k上线汇单元i的产量，m3／ks；mg为气体黏度，mPa·s；psc为气体临界压力，MPa；Z为气体偏差因子，无因次；T为储层温度，℃；Tsc为气体临界温度，℃；(xfk,i，yfk)为裂缝k上线汇单元i的中心坐标；(xfk+1,j，yfk+1)为裂缝k+1上线汇单元j的中心坐标。
式(4)就是所有裂缝线汇单元同时生产时间t后在O点产生的压力降落响应方程。
2 裂缝流动模型
假设流体经过裂缝面进入裂缝后向水平井筒的流动为一维线性流动(图1)。为了便于计算，将微元段处理成矩形进行汁算，裂缝宽度为wfk+1，以计算流体在裂缝中流动时产生的压力降落。
由达西定律计算第k+1条裂缝第j微兀段(点Ofk+1,j)流动到水平井筒(点Ofk+1,0)间压差为：
式中Dp2fk+1,j-0为裂缝k+1上线汇单元j在裂缝内流动时产生的压差，MPa；Kfk+1为裂缝k+1的裂缝渗透率，mD；wfk+1为裂缝k+1的裂缝宽度，m。
式(5)中第一项表示第k+1条裂缝第j及之前线汇单元产量在裂缝内流动时产生的压降；第二项表示第k+1条裂缝第j个之后线汇单元产量在裂缝内流动时产生的压降。
3 耦合流动模型
气体从储层流到水平井筒的过程可以分为气藏渗流和裂缝内流动两个过程，式(4)、式(5)已经建立起了相应的压降方程；考虑到气体在储层内流动和流体在裂缝内流动时在裂缝壁面处的压力相等，将式(4)、(5)联守可建市地层压力为井底流压的压力连续方程；由于假设井筒无限导流，各裂缝在与水平井筒相交节点处O0的压力相等，定井底流压(pwf)生产时边界条件为：
pfk+1,0＝pwf (6)
式中pwf为水平井筒井底流压，MPa。
联立方程(4)、(5)、(6)整理可得到第是+1裂缝第j个线汇的储层裂缝耦合流动方程：
式(7)中变量为每一个线汇产量，这样就建立起了压裂水平井裂缝与气藏耦合的瞬态渗流数学模型。
对于一口压裂N条横向裂缝的压裂水平井，可以求解下面的方程组计算任意时刻的各裂缝线汇的产量qf1，1，qf1，2，…，qf1，ns，q21，1，qf2，2，…，qfN，2ns即
由于考虑气体只通过裂缝流入到水平井筒，所以气井总产量为：
如果井底压力(pwf)已知，联立方程式(5)、(8)便可求得每个线汇的产量，根据式(9)就可求得总产量。
上面就完成了第一个Dt时间步长下各线汇单元及总产量计算；对于各线汇单元而言，由于产量会随生产时间发生变化，这样就需要利用时间叠加来求得任意时刻的值。设时间段步长为Dt，当时t＝mDt(第m个时间段的结尾)，则对第k+1条裂缝的第j个线汇，可得到：
与第一个时间步长下的产量计算一样，根据井底压力约束和总产量约束，组成封闭方程组求解，从第一个时间步长开始，循环求解，直到得到第m个时间步长的结果。
4 计算实例及敏感性分析
4.1 模型的验证
某致密气藏水平井埋藏深度2600 m，水平段长度为600m，有效厚度为l5.5，孔隙度为12.0％，渗透率为0.75mD，气层温度为68℃，气体黏度为0.035mPa·s，气体偏差因子为0.89，原始地层压力30MPa，井底流压22MPa。压裂形成4条等间距裂缝，裂缝长度100m，裂缝导流能力30D·cm。
分别按照裂缝无限导流模型、本文模型以及本文参考文献[7-8]的计算结果与实际产量对比(表1)。可以看出，本文模型的计算结果从初期到稳定生产阶段最接近，表明本文模型准确性高。从3种模型计算结果的对比来看：无限导流模型计算生产ld时的产量为13.626×104m3／d、生产120d后产量为4.346×104m3／a，远高于实际产量，表明不能忽略裂缝内压力损失的影响。从本文参考文献[7-8]模型的计算结果与实际产量对比可以看出，生产初期差别较大(分别为6.904×104m3／a和9.214×104m3／d)，而在生产120d的差别变小，这表明采用均匀产量分布的假设与实际情况存在较大偏差。
4.2 裂缝产量分布与位置的关系
图2是3种模型第l条裂缝的产量分布对比结果。采用无限导流模型计算结果表明，由于没有考虑裂缝内的压力降落，在生产初期(t＝ld)裂缝内的产量分布为“U”形，裂缝两端产量相对较高，这与本文参考文献[15]规律一致；本文模型考虑了裂缝产量非均匀分布以及裂缝内的压力损失，裂缝产量在水平井筒附近出现局部峰值，且随裂缝内压力损失增大，井筒附近裂缝产量的峰值越明显，这是由于越靠近井简裂缝生产压差越大，裂缝产量越高造成的；由于裂缝段内相互干扰，随着生产时间的增加，裂缝产量分布趋于均匀，但由于水平井筒压力最低，裂缝上产量分布为近似“双U”型，这与本文参考文献[l4]规律相符合。
4.3 裂缝产量分布与时间的关系
图3是压裂水平井第1条裂缝的产量分布与时间的关系曲线。由于裂缝为有限导流，气体在裂缝内流动存在压力差，生产初期(t＝0.1d)水平井井筒附近产量较高，裂缝远端产量较低；随时间增加(t＝10d)，压力传递到裂缝远端以及水平井筒附近裂缝段受到的干扰最为明显，水平井筒附近的产量急剧减小，裂缝远端产量略有减小；当生产时间大于100d时，整个系统的流动达到拟稳态阶段，裂缝内产量分布趋于稳定。
4.4 裂缝产量分布与裂缝导流能力的关系
图4是压裂水平井拟稳态生产阶段(t＝100d)第1条裂缝产量分布与裂缝导流能力的关系曲线。可以看出：裂缝导流能力越小，裂缝内产量分布越不均匀，水平井筒附近裂缝产量越高；当无因次裂缝导流能力大于l00时，裂缝产量分布均匀，趋近于无限导流裂缝内的产量分布。从无因次裂缝导流能力对产量的影响可以看出，裂缝导流能力越大，压裂水平井产量越高，但随着裂缝导流能力的增加，产量增幅逐渐变小。主要原因是当缝导流能力过低时，而气层供给能力比较强，使得在裂缝附近流体聚集，产牛附加阻力，这时通过增加裂缝导流能力解除这部分附加阻力，就能确保产量明显上升；但当缝裂缝导流能力过高时，而气层供给跟不上，出现“抽空”现象，表现为导流能力的增加，产量增幅减小。因此，需要优化压裂缝的导流能力，使得裂缝导流能力与储层供给能力相一致，才能获得最佳增产效果。
5 结论
1)基于瞬时点源函数和叠加原理，采用空间和时间离散技术，考虑裂缝面上的非均匀流入以及缝内摩阻变化，建立了致密气藏压裂水平井非稳态产量计算模型，该模型解决了定量预测压裂水平井及裂缝上产量分布的定量预测。该模型与实际井产量及传统模型的计算结果对比验证了其可靠性。
2)压裂水平井产量计算过程中，无限导流裂缝模型会导致计算产量远高于实际产量，裂缝均匀产量的假设使得计算结果低于实际产量。
3)由于裂缝干扰，水平井筒两端裂缝的产量高于中间裂缝的产量；由于裂缝非均匀流入以及裂缝内摩阻损失，裂缝产量在水平井筒附近出现局部峰值。
4)裂缝内产量分布受生产时间和裂缝导流能力的影响，流动时间越长，裂缝导流能力越大，裂缝内的产量分布越均匀。
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本文作者：曾凡辉 王树义 郭建春 江启峰 张楠乔
作者单位：“油气藏地质及开发工程”国家重点实验窒·西南石油大学
中国石油华北油田公司第二采油厂
“流体及动力机械”教育部重点实验室·西华大学
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